Question

17．如图所示，在多面体EF-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF=$\sqrt{3}$．
（1）若平面ABC∩平面BEF=l，证明：EF∥l；
（2）求证：AC⊥BE；
（3）若BE=$\sqrt{5}$，EO=$\sqrt{3}$，求点B到平面AFO的距离．

Answer 1

分析 （1）利用直线和平面平行的判定证得EF∥平面ABC，再利用直线和平面平行的性质定理，证得EF∥l．
（2）利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面BEH，再利用直线和平面垂直的性质定理，证得AC⊥BE．
（3）先求得F-BCA的体积，再根据等体积法求得点B到平面AFO的距离．

解答 解：（1）∵EF∥AO，EF?平面ABC，AO?平面ABC，∴EF∥平面ABC，
又因为平面ABC∩平面BEF=l，所以EF∥l．
（2）取AC的中点H，连接EH，BH，∵EA=EC，∴EH⊥AC，
因为△ABC为等边三角形，所以BA=BC，BH⊥AC，
因为BH∩EH=H，所以AC⊥平面BEH，
∵BE?平面BEH，∴AC⊥BE．
（3）∵在△EAC中，$EA=EC=\sqrt{3}，AC=2$，
所以$EH=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
因为△ABC为等边三角形，所以$BH=\sqrt{3}$，
因为$BE=\sqrt{5}$，所以EH²+HB²=BE²，所以EH⊥HB，
因为AC∩HB=H，所以EH⊥平面ABC，
又因为${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×4=\sqrt{3}$，所以${V_{E-BCA}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∵EF∥AO，∴${V_{F-BCA}}={V_{E-BCA}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∵$EO=\sqrt{3}$，四边形AOFE为平行四边形，$EA=EF=\sqrt{3}$，
∴$∠AOF={120^0}，{S_{△AOF}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{3}{4}\sqrt{3}$，
设点B到平面AFO的距离为d，
由${V_{B-AFO}}=\frac{1}{2}{V_{F-BCA}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，得$\frac{1}{3}×d×\frac{3}{4}\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，解得$d=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定和性质，直线和平面垂直的判定和性质，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．