Question

3．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C₁的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为C₂：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C₁与C₂相交于A、B两点．
（1）求|AB|的值；  
（2）求点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）先将两曲线的方程都化成直角坐标方程，从而有普通方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；曲线C₂即直线x+y-1=0，把直线的方程代入椭圆的方程，化简后得到一个关于x的一元二次方程，即可求出|AB|的长；
（2）由（1）中的关于x的一元二次方程得到A，B两点的坐标，再利用两点间的距离公式求出点M（-1，2）到A、B两点的距离，最后再求出点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

解答 解：（1）曲线C₁的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，
曲线C₂的极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ=1，的直角坐标方程为：x+y-1=0，
把直线 x+y-1=0代入3x²-4x=0
∴x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{4}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（2）由（1）得A，B两点的坐标分别为A（0，1），B（$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴|MA|²=（0+1）²+（1-2）²=2，|MB|²=（$\frac{4}{3}$+1）²+（-$\frac{1}{3}$-2）²=$\frac{98}{9}$，
则点M到A，B两点的距离之积为|MA|•|MB|=$\frac{14}{3}$．

点评 此题考查学生掌握并灵活运用直线与圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程，两点间的距离公式等，是一道综合题．