给定椭圆: ,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,且其短轴上的一个端点到的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过动点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,试判断是否垂直,并说明理由.
(Ⅰ),;(Ⅱ)垂直.
解析试题分析:(Ⅰ)利用焦点坐标求出,利用短轴上的一个端点到的距离为,求出,解出,,写出椭圆方程,通过得到的,求出准圆的半径,直接写出准圆方程;(Ⅱ)分情况讨论:①当中有一条直线的斜率不存在时,②当的斜率都存在时.
试题解析:(Ⅰ)由题意可知,,则,,
所以椭圆方程为. 2分
易知准圆半径为,
则准圆方程为. 4分
(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时,
不妨设的斜率不存在,因为与椭圆只有一个公共点,则其方程为,
当的方程为时,此时与准圆交于点,,
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或,
即为或,显然直线垂直; 6分
同理可证直线的方程为时,直线也垂直. 7分
②当的斜率都存在时,设点,其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
由消去,得.
由化简整理得,. 因为,
所以有. 10分
设直线的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点,
所以满足方程,
所以,即垂直. 12分
综合①②知,垂直. 13分
考点:1.椭圆方程;2.分类讨论思想解题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点,当l的斜率为1时,坐标原点O到l的距离为.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有=+成立?若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由.
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椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ)若ΔABF2为正三角形,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的离心率满足,0为坐标原点,求证为钝角.
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已知椭圆的离心率为,,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为。
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.
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如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.
分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
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已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.
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已知焦点在轴上的椭圆和双曲线的离心率互为倒数,它们在第一象限交点的坐标为,设直线(其中为整数).
(1)试求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.
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在直角坐标系中,曲线的参数方程为,
以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
⑴ 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
⑵ 当时,曲线和相交于、两点,求以线段为直径的圆的直角坐标方程.
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