如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.
分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
(1);(2)详见解析.
解析试题分析:(1)根据条件“右焦点为,离心率为”得到含有的两个方程,进而求解椭圆方程;(2)通过直线和直线与椭圆连接方程组,得到四点坐标,统一变量,减少字母,然后利用斜率公式证明直线,的斜率之和为定值.在第(2)问的运算上要注意先化简再代入.本题的几何背景是:在如图所示的圆中,因为,且,所以.
试题解析:(1)解:由题意,得,,故,
从而,
所以椭圆的方程为. ① 5分
(2)证明:设直线的方程为, ②
直线的方程为, ③ 7分
由①②得,点,的横坐标为,
由①③得,点,的横坐标为, 9分
记,,,,
则直线,的斜率之和为
13分
. 16分
考点:1.椭圆的标准方程;2.直线的斜率;3.直线与椭圆的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左、右焦点分别为、,P为椭圆 上任意一点,且的最小值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点,当为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积.
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已知曲线的参数方程为是参数,是曲线与轴正半轴的交点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点与曲线只有一个公共点的直线的极坐标方程.
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已知分别是椭圆的左、右顶点,点在椭圆上,且直线与直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,已知是椭圆上不同于顶点的两点,直线与交于点,直线与交于点.① 求证:;② 若弦过椭圆的右焦点,求直线的方程.
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给定椭圆: ,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,且其短轴上的一个端点到的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程;
(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点,过动点作直线,使得与椭圆都只有一个交点,试判断是否垂直,并说明理由.
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如图,A,B是椭圆的两个顶点, ,直线AB的斜率为.求椭圆的方程;(2)设直线平行于AB,与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,
证明:的面积等于的面积.
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已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:
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已知椭圆的焦距为4,且过点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为。取点,连接,过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.
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