精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:











(1)求的标准方程;
(2)设斜率不为0的动直线有且只有一个公共点,且与的准线交于,试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

(1) ;(2)存在定点.

解析试题分析:(1)设出标准方程,由点的坐标代入求出基本量即得;(2)巧设直线的方程为,由直线与椭圆相切,求得,利用直线的准线相交求点的坐标,写出以为直径的圆的方程,利用恒成立求解.
试题解析:(1)设的标准方程为:,∵代入抛物线方程中得到的解相同,∴,     (3分)
在椭圆上,把点的坐标代入椭圆方程得,则
的标准方程分别为.       (6分)
(2)设直线的方程为,将其代入消去并化简整理得:
,又直线与椭圆相切,
,∴,    (8分)
设切点,则
又直线的准线的交点
∴以为直径的圆的方程为,     (10分)
化简整理得恒成立,
,即存在定点符合题意.      (13分)
考点: 椭圆、抛物线的性质,圆的性质,直线与圆椭圆的关系,定点问题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C:  (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ)若ΔABF2为正三角形,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若椭圆的离心率满足,0为坐标原点,求证为钝角.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为
分别过的两条弦相交于点(异于两点),且
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线的斜率之和为定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为,上顶点为,过三点作圆  
(Ⅰ)若线段是圆的直径,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若圆的圆心在直线上,求椭圆的方程;
(Ⅲ)若直线交(Ⅱ)中椭圆于,交轴于,求的最大值  

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知焦点在轴上的椭圆和双曲线的离心率互为倒数,它们在第一象限交点的坐标为,设直线(其中为整数).
(1)试求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知,其中.设直线的交点为,求动点的轨迹的参数方程(以为参数)及普通方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知的顶点A在射线上,两点关于x轴对称,0为坐标原点,且线段AB上有一点M满足当点A在上移动时,记点M的轨迹为W.
(Ⅰ)求轨迹W的方程;
(Ⅱ)设是否存在过的直线与W相交于P,Q两点,使得若存在,
求出直线;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案