Question

17．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n=2ⁿa_n-1（n≥2），则数列的通项公式是（　　）

• A． a_n=2•2${\;}^{\frac{n（1+n）}{2}}$
• B． a_n=2${\;}^{\frac{n（1+n）}{2}}$
• C． a_n=2•2${\;}^{\frac{n（1+n）}{2}}$-1
• D． a_n=2ⁿ

Answer 1

分析 根据：a₁=2，a_n=2ⁿa_n-1（n≥2），利用“累乘求积”、等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n=2ⁿa_n-1（n≥2），
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=2ⁿ•2^n-1•…•2²×2=2^{n+（n-1）+…+1}=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$．（n=1时也成立）．
则数列的通项公式是：a_n=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．