Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（2，0），若直线l上存在点M满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是[$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$]．

Answer 1

分析 设M（x，-x-a），由已知条件利用两点间距离公式得（x-2）²+（-x-a）²=4x²+4（-x-a）²，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围．

解答 解：设M（x，-x-a），
∵直线l：x+y+a=0，点A（2，0），直线l上存在点M，满足|MA|=2|MO|，
∴（x-2）²+（-x-a）²=4x²+4（-x-a）²，
整理，得6x²+（6a+4）x+a²+3a²-4=0①，
∵直线l上存在点M满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），
∴方程①有解，
∴△=（6a+4）²-24（3a²+-4）≥0，
整理得9a²-12a-28≤0，
解得$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$≤a≤$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$，
故a的取值范围为[$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$]，
故答案为：[$\frac{2-4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2+4\sqrt{2}}{3}$]

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．