Question

1．设a，b为方程x²-6x+4=0的两根，且a＞b．
（1）证明：a＞0，b＞0；
（2）求$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意得ab=4＞0，则a，b的符号相同，又a+b=6＞0，则结论可证；
（2）由（1）得a＞b＞0，则$\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$，有$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}＞0$，求出$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}$的平方，则$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}$的值可求．

解答 （1）证明：由题意得ab=4＞0，则a，b的符号相同．
又a+b=6＞0，则a＞0，b＞0；
（2）解：由（1）得a＞b＞0，则$\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$，有$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}＞0$，
又${（\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}）^2}=\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}^2}}}{{{{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}^2}}}=\frac{{a+b-2\sqrt{ab}}}{{a+b+2\sqrt{ab}}}=\frac{{6-2\sqrt{4}}}{{6+2\sqrt{4}}}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{{\sqrt{a}-\sqrt{b}}}{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了有理指数幂化简求值，考查了不等式的性质，是基础题．