Question

8．甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程f_i（x）（i=1，2，3，4}，关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f₁（x）=2^x-1，f₂（x）=x³，f₃（x）=x，f₄（x）=log₂（x+1），有以下结论：
①当x＞1时，甲走在最前面；
②当x＞1时，乙走在最前面；
③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
其中，不正确的序号为（　　）

• A． ①②
• B． ①②③④
• C． ③④⑤
• D． ②③④⑤

Answer 1

分析 根据指数型函数，幂函数，一次函数以及对数型函数的增长速度便可判断每个结论的正误，从而可写出正确结论的序号．

解答 解：路程f_i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为：
f₁（x）=2^x-1，f₂（x）=x³，f₃（x）=x，f₄（x）=log₂（x+1），
它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型；
①当x=2时，f₁（2）=3，f₂（2）=8，
∴该结论不正确；
②∵指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，
∴x＞1时，甲总会超过乙的，
∴该结论不正确；
③根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，
当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，
从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，
当x＞1时，丁走在最后面，
∴该结论正确；
④结合对数型和指数型函数的图象变化情况，
可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，
∴该结论正确；
⑤指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，
∴该结论正确；
∴正确结论的序号为：③④⑤．
故选：C．

点评 本题考查几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于中档题．