Question

14．函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域为（-∞，1），求a与t的值．

Answer 1

分析 （1）根据真数大于0，可得函数的定义域，根据对数的运算性质，可得f（-x）=-f（x）得：f（x）为奇函数；
（2）由f（x）的值域为（-∞，1）求出相应的自变量的取值范围，可得a与t的值．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得：x∈（-1，1），
故函数f（x）的定义域D=（-1，1）；
由函数f（x）的定义域关于原点对称，
且f（-x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$=-log_a$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x）得：f（x）为奇函数；
（2）∵0＜a＜1，
故f（x）的值域为（-∞，1）时，$\frac{1-x}{1+x}$＞a，
即$\frac{（a+1）x+（a-1）}{x+1}＜0$，
解得：x∈（-1，$\frac{1-a}{a+1}$），
∴t=-1，a=$\frac{1-a}{a+1}$，
解得：a=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$，或a=$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$（舍去），
综上：a=$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$，t=-1

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．