Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（Ⅱ）设bn=2nf(n)，
    （ⅰ）求数列{b_n}的前n项的和S_n；
    （ⅱ）请探究是否存在正整数n，使

Sn-bn

Sn+1-bn+1

≤

1

5

成立？若存在，求出所有正整数n；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,简单线性规划

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，可求得x=1，或x=2，则D_n内的整点在直线x=1和x=2上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；
（Ⅱ）（ⅰ）利用错位相减法求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（ⅱ）

Sn-bn

Sn+1-bn+1

≤

1

5

成立，可得

2+(n-2)2n

2+(2n-2)2n

≤

1

5

得（8-3n）2ⁿ≥8，从而可求所有正整数n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知易于得到f（1）=3，f（2）=6…（2分）
当x=1，y=2n，可取格点2n个；
当x=2，y=n，可取格点n个，
∴f（n）=3n…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知：b_n=3n•2ⁿ，
S_n=3•2¹+6•2²+…+3n•2ⁿ，…①
∴2S_n=3•2²+6•2³+…+3（n-1）•2ⁿ+3n•2ⁿ⁺¹，…②
∴①-②得-S_n=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹=3（2ⁿ⁺¹-2）-3n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=6+（3n-3）•2ⁿ⁺¹…（8分）
（ⅱ）由题意可得Sn-bn=6+(3n-6)2n，
∴Sn+1-bn+1=6+(6n-6)2n，
∴

Sn-bn

Sn+1-bn+1

=

2+(n-2)2n

2+(2n-2)2n

，
令

2+(n-2)2n

2+(2n-2)2n

≤

1

5

得（8-3n）2ⁿ≥8，
设Tn=(8-3n)2n，则当n=1，T_n=10≥8，当n=2，T_n=8≥8；
当n≥3，（8-3n）＜0，T_n＜0，T_n≥8不成立．
综上所述，符合条件的正整数n存在，且只能等于1或者2…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查线性规划的基本知识，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．