Question

3．关于x的方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=kx+2有唯一实数解，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $\left\{{±\sqrt{3}}\right\}$
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，2）
• D． $（{-∞，-2}）∪\left\{{±\sqrt{3}}\right\}∪（{2，+∞}）$

Answer 1

分析 由题意，方程左边对应的函数图象是以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆，右边对应的函数图象是经过定点C（0，2）且斜率为k的一条直线．可得当直线与半圆相切时或直线在x轴上的交点位于（-1，0）和（1，0）之间时，原方程有唯一的实数解．由此建立关于k的代数关系式，即可得到实数k的范围．

解答 解：设y₁=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
表示以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆（含端点A、B）
设y₂=kx+2，表示经过定点C（0，2）且斜率为k的一条直线
当直线y₂=kx+2与半圆y₁=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相切时，原方程有唯一解
此时原点到直线的距离等于1，得$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解之得k=±$\sqrt{3}$，
当直线在x轴上的交点位于A、B之间时，原方程也有唯一解
∵k_AC=2且k_BC=-2，
∴线在x轴上的交点位于A、B之间时，k＜-2或k＞2
综上所述，原方程有唯一实数解时，k＜-2或k＞2或k=±$\sqrt{3}$．
故选：D

点评 本题给出方程有唯一的实数解，求参数k的值或范围．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．