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【题目】已知函数.

(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;

(Ⅱ)若有两个极值点,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)若,求在区间上的最小值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).

【解析】

由题意得

(Ⅰ)当时,求得,根据点斜式方程即可求出切线方程;

(Ⅱ)由题意得两个不等的正根,令,则,由此可得函数的单调性,由此可求出答案;

(Ⅲ)由题意可得,由二阶导的取值符号可得到的单调性,得到,由此可求出函数上单调递减,从而求出最值.

解:∵

(Ⅰ)当时,

∴曲线在点处的切线方程为

(Ⅱ)∵若有两个极值点,

有两个不等的正根,即两个不等的正根,

,此时单调递增,

,此时单调递减,

∴函数处取得极大值,也是最大值

因为两个不等的正根,

,得

∴实数a的取值范围是

(Ⅲ)∵

,令

时,,此时单调递增,

时,,此时单调递减,

上单调递减,

上的最小值为

练习册系列答案
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【题目】某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如下图所示:

1)将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”,现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人,求至少有 1 位消费者,其去年的消费金额超过 4000 元的概率;

2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:

会员等级

消费金额

普通会员

2000

银卡会员

2700

金卡会员

3200

预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时,需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:

方案 1:按分层抽样从普通会员, 银卡会员, 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元; 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元; 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 .

方案 2:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从-个装有 3 个白球、 2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2,则可获得 200 元奖励金; 若摸到红球的总数为 3,则可获得 300 元奖励金;其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立) .

以方案 2 的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪-种方案投资较少?并说明理由.

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【题目】已知椭圆经过点C的左、右焦点,过的直线lC交于AB两点,且的周长为

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2)若,求l的方程.

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1)若,曲线在点处的切线与直线平行,求的值;

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【题目】假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示,被捕食者的数量以表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是( )

A.若在时刻满足:,则

B.如果数量是先上升后下降的,那么的数量一定也是先上升后下降

C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值

D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者的数量也会达到最大值

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【题目】如图,边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直,分别为的中点.

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【题目】已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是,在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是:确认病例增长率系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,确认病例的平均增长率为,两例连续病例的间隔时间的平均数为天,根据以上RO数据计算,若甲得这种传染病,则轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(

A.B.C.D.

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(Ⅰ)求的值;

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