Question

3．已知三棱锥V-ABC，VA⊥平面ABC，在三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=VA=2，三棱锥V-ABC的外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． $\frac{20\sqrt{5}π}{3}$
• D． 20π

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∴三角形ABC的外接圆直径2r=$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴r=2，
∵VA⊥面ABC，VA=2，
由于三角形OVA为等腰三角形，
则有该三棱锥的外接球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+（\frac{1}{2}×2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR²=4π×（$\sqrt{5}$）²=20π．
故选：D．

点评 本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．