Question

12．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα+sinα}\\{y=2\sqrt{3}sinαcosα-2si{n}^{2}α+2}\end{array}\right.$（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）平方得x²=2cos²α$+2\sqrt{3}sinαcosα+1$，代入第二个式子化简得出ρsinθ+ρcosθ=t，根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，化简得出x+y=t．
（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$利用判别式问题求解．

解答 解：（1）由x=$\sqrt{3}cosα+sinα$，得x²=2cos²α$+2\sqrt{3}sinαcosα+1$，
所以曲线M可化为y=x²-1，x∈[-2，2]，由ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ$+\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
所以ρsinθ+ρcosθ=t，
所以N可化为x+y=t，
（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，
此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$得x²+x-1-t=0，
△=1+4（1+t）=0，解得t=$-\frac{5}{4}$，综上可得t的取值范围$-\frac{5}{4}$≤t≤5．

点评 本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题．