Question

16．已知点A，B是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的顶点，P为双曲线上除顶点外的一点，记k_PA，k_PB分别表示直线PA，PB的斜率，若k_PA•k_PB=$\frac{5}{4}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意得A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），利用直线的斜率公式算出k_PA•k_PB=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$．由点P是双曲线上的点，坐标代入双曲线方程化简整理得n²=$\frac{{b}^{2}（{m}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，从而得出k_PA•k_PB=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，由此得到a、c的关系式，从而解出双曲线的离心率e的值．

解答 解：由题意，可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n）
∴k_PA•k_PB=$\frac{n-0}{m+a}•\frac{n-0}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$．
∵点P是双曲线上的点，可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，化简整理得n²=$\frac{{b}^{2}（{m}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$．
∴k_PA•k_PB=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
∵k_PA•k_PB=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，可得e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的斜率公式、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．