Question

20．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA=AB=2，AC=1，∠BAC=120°，且PA⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）

• A． $\frac{40π}{3}$
• B． $\frac{50π}{3}$
• C． 12π
• D． 15π

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．

解答 解：∵AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
∴三角形ABC的外接圆直径2r=$\frac{\sqrt{7}}{sin120°}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵PA⊥面ABC，PA=2，
由于三角形OPA为等腰三角形，
则有该三棱锥的外接球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+（\frac{1}{2}×2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{3}$，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{30}}{3}$）²=$\frac{40π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．