Question

5．设{a_n}是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，a²₂+a²₃=a²₈+a²₃，S₇=7
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式
（Ⅱ）若1+2log₂b_n=a_n+3（n∈N^*），求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）1+2log₂b_n=a_n+3（n∈N^*），可得1+2log₂b_n=2n-1，${b}_{n}={2}^{n-1}$．a_nb_n=（2n-7）×2^n-1，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a²₂+a²₃=a²₈+a²₃，
∴（a₄-a₂）（a₄+a₂）=（a₃+a₅）（a₃-a₅），
化为2d×2a₃=-2d×2a₄，d≠0，
∴a₃=-a₄．
∵S₇=7，∴S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄=7，解得a₄=1，
∴a₃=-1，d=2．
∴a_n=a₄+（n-4）×2=2n-7．
（Ⅱ）∵1+2log₂b_n=a_n+3（n∈N^*），
∴1+2log₂b_n=2n-1，∴${b}_{n}={2}^{n-1}$．∴a_nb_n=（2n-7）×2^n-1，
∴数列{a_nb_n}的前n项和T_n=-5×1-3×2-1×2²+1×2³+…+（2n-7）×2^n-1，
2T_n=-5×2-3×2²-1×2³+1×2⁴+…+（2n-7）×2ⁿ，
∴-T_n=-5+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-7）×2ⁿ
=-5+$\frac{2×2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-7）×2ⁿ=-5+2ⁿ⁺¹-4-（2n-7）×2ⁿ，
∴T_n=（2n-9）×2ⁿ+9．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．