Question

16．已知平面α截一球O得圆M，圆M的半径为r，圆M上两点A、B间的弧长为$\frac{πr}{2}$，又球心O到平面α的距离为r，则A、B两点间的球面距离为$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用球面上两点A、B与球心O所构成的△AOB为正三角形得出球心角的大小，再直接求扇形OAB的弧长，就是A、B两点间的球面距离．

解答 解：由题意可知A、B两点间的球面距离：就是扇形OAB的劣弧的长，
因为圆M上两点A、B间的弧长为$\frac{πr}{2}$，所以∠AMB=$\frac{π}{2}$，
因为圆M的半径为r，球心O到平面α的距离为r，所以AB=OA=OB=$\sqrt{2}$r
因球面上两点A、B与球心O所构成的△AOB为正三角形，
故$∠AOB=\frac{π}{3}$，
则A、B两点间的球面距离是l=$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$．

点评 本题考查球面距离，考查了正三角形的性质，弧长公式等基础知识，是基础题．