Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱A₁B₁、A₁D₁的中点，E、F分别是棱B₁C₁、C₁D₁的中点．求证：
（1）BD∥EF；
（2）BD⊥面A A₁ C₁C．
（3）平面AMN∥平面BDFE．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接B₁D₁，根据平行线的传递性即可得到BD∥EF；
（2）容易说明BD⊥AC，BD⊥AA₁，从而得到BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）由已知条件能够得到MN∥EF，从而MN∥平面BDFE，设AC交BD于O，A₁C₁交MN于Q，交EF于P，能够说明AQ∥OP，从而得到AQ∥平面BDFE，这样即可得到平面AMN∥平面BDFE．

解答： 证：（1）如图，连接B₁D₁，由已知条件知：EF∥B₁D₁，
又BD∥B₁D₁，∴BD∥EF；
（2）由已知条件知：AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，即BD⊥AA₁；
又BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
∴BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）设AC交BD于O，A₁C₁交MN于Q，交EF于P，则PQ∥AO，且PQ=AO，
∴四边形AOPQ是平行四边形，
∴AQ∥OP，OP?平面BDFE；
∴AQ∥平面BDFE，
又MN∥EF，EF?平面BDFE，
∴MN∥平面BDFE，MN∩AQ=Q；
∴平面AMN∥平面BDFE．

点评：考查平行线的传递性，线面垂直的性质及判定定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理．