Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足：a²=（b-c）²+（2-$\sqrt{3}$）bc，又sinAsinB=$\frac{1+cosC}{2}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知整理可得${b^2}+{c^2}-{a^2}=\sqrt{3}bc$，利用余弦定理可求cosA，即可解得A的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos（A-B）=1，可得A，B，C的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵${a^2}={（b-c）^2}+（2-\sqrt{3}）bc$，
∴${b^2}+{c^2}-{a^2}=\sqrt{3}bc$，
又∵$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{\sqrt{3}bc}}{2bc}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$A=\frac{π}{6}$．--------------（7分）
（2）∵$sinAsinB=\frac{1+cosC}{2}$，
∴2sinAsinB=1+cosC=1-cos（A+B），
∴cosAcosB+sinAsinB=1即cos（A-B）=1------------（12分）
∴$A-B=0，即B=A=\frac{π}{6}$，$C=\frac{2π}{3}$，
又∵$a=2，S=\frac{1}{2}absinC$，
∴$S=\sqrt{3}$．--------------（15分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．