Question

已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤时，f(cos²θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

　(－，＋∞)

解析　方法一　f(cos²θ＋2msin θ)＋f(－2m－2)<0⇒f(cos²θ＋2msin θ)<f(2m＋2)⇒cos²θ＋2msin θ<2m＋2⇒2m(1－sin θ)>－1－sin²θ.

当θ＝时，2m·0>－2，此时m∈R；

当0≤θ<时，m>令t＝1－sin θ，

则t∈(0,1]，此时．

设φ(t)＝－(t＋－2)，

而φ(t)在t∈(0,1]上的值域是(－∞，－]，

故m>－.

方法二　同方法一，求得2m(1－sin θ)>－1－sin²θ，

设sin θ＝t，则t²－2mt＋2m＋1>0对于t∈[0,1]恒成立．

设g(t)＝t²－2mt＋2m＋1，其图象的对称轴方程为t＝m.

①当m<0时，g(t)在[0,1]上单调递增，

从而g(0)＝2m＋1>0，即m>－，

又m<0，所以－<m<0.

②当0≤m≤1时，g(t)在[0，m]上单调递减，在[m,1]上单调递增，

从而g(m)＝m²－2m²＋2m＋1>0，即m²－2m－1<0，

所以1－<m<1＋.

又m∈[0,1]，所以0≤m≤1.

③当m>1时，g(t)在[0,1]上单调递减，

从而g(1)＝1－2m＋2m＋1＝2>0恒成立，所以m>1.

综合①②③，可知m>－.