Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y²＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．

(1)求曲线C的方程及t的值；

(2)记d＝，求d的最大值．

Answer 1

解　(1)y²＝2px(p>0)的准线x＝－，

∴1－(－)＝，p＝，

∴抛物线C的方程为y²＝x.

又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.

(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，

依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，

设直线AB的斜率为k(k≠0)．

且A(x₁，y₁)，B(x₂.y₂)，

由得(y₁－y₂)(y₁＋y₂)＝x₁－x₂，

故k·2m＝1，

所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，

即x－2my＋2m²－m＝0.

由消去x，

整理得y²－2my＋2m²－m＝0，

所以Δ＝4m－4m²>0，y₁＋y₂＝2m，y₁y₂＝2m²－m.

当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立．

又m＝满足Δ＝4m－4m²>0，∴d的最大值为1.