Question

9．已知抛物线C：y²=4x，直线l：x=-1．
（1）若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点的距离相等，求Q的坐标；
（2）过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析 （1）设Q（x，y），则（x+1）²=x²+y²，即y²=2x+1，与抛物线方程联立，得Q的坐标；
（2）先通过特例求出定点，再证明一般性结论．

解答 （1）解：设Q（x，y），则（x+1）²=x²+y²，即y²=2x+1，
与抛物线方程联立，得Q（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）；
（2）证明：设直线方程为y-t=k（x+1）（k≠0），代入抛物线方程整理得ky²-4y+4t+4k=0，
△=0，可得k²+kt-1=0．
特别地，t=0，k=±1，这时切点为A（1，2），B（1，-2），AB过定点F（1，0）．
一般地，k₁+k₂=t，k₁k₂=-1，切点为A（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2}{{k}_{1}}$），B（$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1，$\frac{2}{{k}_{1}}$），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-1，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1）$\frac{2}{{k}_{2}}$-=$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-1）$\frac{2}{{k}_{1}}$）=0，
∴$\overrightarrow{FA}$∥$\overrightarrow{FB}$，
∴AB过点F（1，0），
综上所述，直线AB过点F（1，0）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．