【题目】已知为等差数列,前
项和为
,
是首项为
的等比数列,且公比大于
,
,
,
.
(1)求和
的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)设,
为数列
的前
项和,求不超过
的最大整数.
【答案】(1),
;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
,根据题意得出关于
的方程,求出
的值,可得出等比数列
的通项公式,进而可得出关于
和
的方程组,求出这两个量,然后利用等差数列的通项公式可求出数列
的通项公式;
(2)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法可求出该数列的前
项和;
(3)求出,可得出
,然后利用分组求和法与裂项求和法求出
,可得出
,由此可得出不超过
的最大整数.
(1)设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为
.
由已知,得
,而
,
.
又,解得
,
.
由,可得
①,
由,可得
②,
联立①②,解得,
,由此可得
.
数列
的通项公式为
,数列
的通项公式为
;
(2)设数列的前
项和为
,
由,
,有
,
,
,
上述两式相减,得.
得,
数列
的前
项和为
;
(3)由(1)知:,则
.
,
,
,因此,不超过
的最大整数为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
(1)求以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程;
(2)过椭圆C的左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于A,B两点,求
的面积;
(3)过定点的直线交椭圆C于AB两点,求弦AB中点P的轨迹方程.
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【题目】在直角坐标系中,以
为极点,
轴为正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线
的极坐标方程为
,直线
与曲线
相交于
两点,直线
过定点
且倾斜角为
交曲线
于
两点.
(1)把曲线化成直角坐标方程,并求
的值;
(2)若成等比数列,求直线
的倾斜角
.
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【题目】如果你留心使会发现,汽车前灯后的反射镜呈抛物线的形状,把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状,这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射很远的平行光束,又能发出较暗的,照射近距离的光线.我们都知道常规的前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成,明亮的光束,是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的,灯泡位于抛物面的焦点上,灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束,再经过配光镜的散射、偏转作用,以达到照亮路面的效果,这样的灯光我们通常称为远光灯:而较暗的光线,不是由反射镜焦点的光源射出的,光线的行进与抛物线的对称轴不平行,光线只能向上和向下照射,所以照射距离并不远,如果把向上射出的光线遮住.车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了.请用数学的语言归纳表达远光灯的照明原理,并证明.
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【题目】为了选拔学生参加全市中学生物理竞赛,学校先从高三年级选取60名同学进行竞赛预选赛,将参加预选赛的学生成绩(单位:分)按范围,
,
,
分组,得到的频率分布直方图如图:
(1)计算这次预选赛的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)若对得分在前的学生进行校内奖励,估计获奖分数线;
(3)若这60名学生中男女生比例为,成绩不低于60分评估为“成绩良好”,否则评估为“成绩一般”,试完成下面
列联表,是否有
的把握认为“成绩良好”与“性别”有关?
成绩良好 | 成绩一般 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:,
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【题目】已知抛物线:
,圆
:
.
(1)若过抛物线的焦点
的直线
与圆
相切,求直线
方程;
(2)在(1)的条件下,若直线交抛物线
于
,
两点,
轴上是否存在点
使
(
为坐标原点)?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线AC垂直于直线SD;
(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
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【题目】随着电子阅读的普及,传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击.某杂志社近9年来的纸质广告收入如表所示:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
广告收入y(千万元) | 2 | 2.2 | 2.5 | 2.8 | 3 | 2.5 | 2.3 | 2 | 1.8 |
根据这9年的数据,对t和y作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.243;根据后5年的数据,对t和y作线性相关性检验,求得样本相关系数的绝对值为0.984.
(Ⅰ)如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入,现在有两个方案,
方案一:选取这9年数据进行预测;方案二:选取后5年数据进行预测.
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析,你觉得哪个方案更合适?
附:
相关性检验的临界值表:
n-2 | 小概率 | |
0.05 | 0.01 | |
3 | 0.878 | 0.959 |
7 | 0.666 | 0.798 |
(Ⅱ)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书,某班级有五名同学在该网站购买了这本书,其中三人只购买了电子书,另两人只购买了纸质书,从这五人中任取两人,求两人都购买了电子书的概率.
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