Question

7．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中点，E，F分别为PD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点M，使得CM∥平面AEF？若存在，求$\frac{PM}{PB}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PD=AD，从而△PAD是等边三角形，进而AE⊥PD，再求出CD⊥AB，从而CD⊥平面PAB，进而CD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）以A为原点，作Ax∥DC，以AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值．
（Ⅲ）在平面ABP中，延长AE交BP为G，取BG中点M，推导出G为PM中点，此时，$\frac{PM}{PB}$=$\frac{2}{3}$从而DM∥平面AEF，推导出面CDM∥面AEF，从而得到CM∥面AEF．

解答 证明：（Ⅰ）∵AP⊥BP，D是AB中点，
∴PD=AD，
又∠PAB=60°，∴△PAD是等边三角形，
又E为PD的中点，∴AE⊥PD，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
又D是AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，又平面PAB∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，∴CD⊥AE，
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）以A为原点，作Ax∥DC，以AB所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2a，则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{CD}$=（-a，0，0），
设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}=\frac{a}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=ax+ay=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
设二面角B-PA-C的平面角为θ，
由图知，二面角B-PA-C为锐角，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{a}{\sqrt{\frac{7}{3}}a}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角B-PA-C的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（Ⅲ）PB上存在M，使得CM∥平面AEF，此时$\frac{PM}{PB}=\frac{2}{3}$．
证明：在平面ABP中，延长AE交BP为G，
取BG中点M，∵M为BG中点，D为AB中点，
∴DM∥AG，又E为PD中点，∴G为PM中点，
此时，$\frac{PM}{PB}$=$\frac{2}{3}$，∴DM∥AE，
∵DM?面AEF，AE?面AEF，
∴DM∥平面AEF，
∵E，F分别是PD，PC的中点，
∴CD∥EF，CD?面AEF，EF?平面AEF，
∴CD∥平面AEF，CD∩DM=D，CD?面CDM，DM?面CDM，
∴面CDM∥面AEF，
∵CM?面CDM，∴CM∥面AEF．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线满足线面平行的点的确定与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．