Question

11．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x+sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，则导函数f′（x）是（　　）

• A． 仅有极小值的奇函数
• B． 仅有极小值的偶函数
• C． 仅有极大值的偶函数
• D． 既有极小值也有极大值的奇函数

Answer 1

分析 求出f′（x）的导数，通过x的范围，得到函数f′（x）的单调区间，结合偶函数的定义判断即可．

解答 解：∵f（x）的定义域是[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
f′（x）=$\frac{1}{2}$+cosx＞0，
f″（x）=-sinx，
x∈[-$\frac{π}{2}$，0）时，f″（x）≥0，
x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，f″（x）≤0，
故f′（x）在[-$\frac{π}{2}$，0）递增，在（0，$\frac{π}{2}$]，递减，
而f′（-x）=f′（x），定义域关于原点对称，
故f′（x）是偶函数且有极大值，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，是一道中档题．