Question

12．某校学生在进行“南水北调工程对北京市民的影响”的项目式学习活动中，对某居民小区进行用水情况随机抽样调查，获得了该小区400位居民某月的用水量数据（单位：立方米），整理得到如下数据分组及频数分布表和频率分布直方图（图1）：

组号	分组	频数
1	[0.5，1）	20
2	[1，1.5）	40
3	[1.5，2）	80
4	[2，2.5）	120
5	[2.5，3）	60
6	[3，3.5）	40
7	[3.5，4）	20
8	[4，4.5）	20

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）从该小区随机选取一名住户，试估计这名住户一个月用水量小于3立方米的概率；
（Ⅲ）若小区人均月用水量低于某一标准，则称该小区为“节水小区”．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，经过估算，该小区未达到“节水小区”标准，而且该小区居民月用水量不高于这一标准的比例为65%，经过同学们的节水宣传，三个月后，又进行一次同等规模的随机抽样调查，数据如图2所示，估计这时小区是否达到“节水小区”的标准？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数据分组及频数分布表能求出a，b的值．
（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这名住户一个月用水量小于3立方米的概率．
（Ⅲ）由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，由图求出三个月后的该小区人均用水量，由此得到三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．

解答 解：（Ⅰ）由数据分组及频数分布表知：
a=$\frac{\frac{40}{400}}{0.5}$=0.2，b=$\frac{\frac{120}{40}}{0.5}$=0.6．
（Ⅱ）设这名住户一个月用水量小于3立方米为事件A，
则这名住户一个月用水量小于3立方米的概率P（A）=$\frac{20+40+80+120+60}{400}$=0.8．
（Ⅲ）∵该小区居民月用水量低于这一标准的比例为30%，
∴由图可知小区人均月用水量低于2.5立方米，则称为“节水小区”，
由图可知，三个月后的该小区人均用水量为：
1×0.1+1.5×0.15+2×0.25+2.5×0.3+3×0.1+3.5×0.05+4×0.05=2.25＜2.5，
∴三个月后，估计小区能达到“节水小区”的标准．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题．