Question

15．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ+4sinθ，P点极坐标为$（3，\frac{π}{2}）$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，倾斜角为$\frac{π}{3}$．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方程，即可写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）将参数方程代入曲线C的直角坐标方程，及参数的几何意义，即可得到$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x²+y²-2x-4y=0，
化为标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=5，P$（3，\frac{π}{2}）$化为直角坐标为P（0，3），
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{π}{3}}\\{y=3+tsin\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．…（5分）
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得${（\frac{1}{2}t-1）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+1）^2}=5$，
整理得：${t^2}+（\sqrt{3}-1）t-3=0$，
显然有△＞0，则t₁+t₂=-$\sqrt{3}$+1，t₁t₂=-3，
|PA|+|PB|=$\sqrt{16-2\sqrt{3}}$，
所以$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}$=$\frac{\sqrt{16-2\sqrt{3}}}{3}$．…（10分）

点评 本题考查直线的参数方程和应用，考查韦达定理和运用，考查基本的运算能力，属于中档题．