Question

11．已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=|$\overrightarrow{AP}$-λ$\overrightarrow{AB}$|（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为$\frac{4}{3}$，则线段AB的长度为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，则f（λ）=|$\overrightarrow{AP}$-λ$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，点C在直线AB上，故f（λ）的最小值M为点P到AB的距离，由此可得结论

解答 解：设λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，则f（λ）=|$\overrightarrow{AP}$-λ$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，
∵λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴点C在直线AB上，
∴f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，
∴m_max=$\frac{4}{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{1-（\frac{4}{3}-1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，

点评 本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．