Question

3．点M（20，40），抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．

Answer 1

分析 过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+$\frac{p}{2}$=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：$\sqrt{4{0}^{2}+（20-\frac{p}{2}）^{2}}$=41，p=22或58，当p=58时，y²=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．

解答 解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，
过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，
当M（20，40）位于抛物线内，
∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，
当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，
由最小值为41，即20+$\frac{p}{2}$=41，解得：p=42，
当M（20，40）位于抛物线外，
当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，
即$\sqrt{4{0}^{2}+（20-\frac{p}{2}）^{2}}$=41，解得：p=22或58，
由当p=58时，y²=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，
故答案为：42或22．

点评 本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．