Question

已知函数f（x）=

x2+ax+a

ex

，其a中为常数，a≤2．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的极大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（0），求出原函数的导函数，得到f′（0），则由直线方程的点斜式得到曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）对原函数求导，由导函数等于0得到导函数的零点，当a=2时，导函数恒小于等于0，原函数在定义域内递减，函数无极值；当a＜2时，由函数零点的定义域分段，判断导函数在不同区间段内的符号，得到原函数的单调性，得到函数的极大值，再由导数求得极大值的范围，则问题得到判断．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

x2+x+1

ex

，f（0）=

1

e0

=1．
∵f′(x)=

(2x+1)ex-ex(x2+x+1)

e2x

=

-x2+x

ex

=

-x(x-1)

ex

，
∴f′（0）=0．
则曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（Ⅱ）由f（x）=

x2+ax+a

ex

，得
f′(x)=

(2x+a)ex-ex(x2+ax+a)

e2x

=

-x[x-(2-a)]

ex

．
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2-a，
∵a≤2，
∴2-a≥0．
当a=2时，f′(x)=

-x2

ex

≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上递减，无极值；
当a＜2时，2-a＞0，f（x）在（-∞，2），（2-a，+∞）上递减，在（0，2-a）上递增；
∴f（2-a）=（4-a）e^a-2为f（x）的极大值，
令u（a）=（4-a）e^a-2（a＜2），则u′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴u（a）在（-∞，2）上递增，
∴u（a）＜u（2）=2，
∴不存在实数a，使f（x）的极大值为2．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，解答此题（Ⅱ）的关键是求解函数极值的范围，是中高档题．