Question

【题目】如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】解：方法一：几何法：
（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面EAC，
∵BC平面EAC，∴BC⊥AM，
又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM，
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，
∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AEAB=EBAH，
设EA=AC=BC=2a，得，AB=2 a，EB=2 a，∴ = ，
∴sin = ，∴∠AHM=60°．
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．
方法二：向量法

（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，
∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），
=（0，1，1）， =（0，2，﹣2）， ，
∴ ，∴AM⊥EC，AM⊥BC，
又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）设平面EAB的法向量为 ，则 ，
∴ ，取y=﹣1，则x=1，则 =（1，﹣1，0），
又∵ 为平面EBC的一个法向量，
∴cos＜ ＞= =﹣ ，
设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜ ＞|= ，∴θ=60°，
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°．
【解析】几何法：（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．（Ⅱ）过A作AH⊥EB于H，连结HM，由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小． 向量法：（Ⅰ）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．