Question

18．若不等式ln$\frac{1+{2}^{x}+（1-2a）{4}^{x}}{4}$≥xln4对任意x∈（-∞，2]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，2]
• C． （-∞，-$\frac{43}{32}$]
• D． [-$\frac{43}{32}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得1-2a≥$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$在x≤2恒成立，由y=$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$=4-$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{{4}^{x}}$=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}}$）²，x≤2，由t=$\frac{1}{{2}^{x}}$（t≥$\frac{1}{4}$），可得y=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+t）²递减，运用二次函数的最值的求法，可得最大值，解a的不等式可得所求范围．

解答 解：不等式ln$\frac{1+{2}^{x}+（1-2a）{4}^{x}}{4}$≥xln4对任意x∈（-∞，2]恒成立，
即为$\frac{1+{2}^{x}+（1-2a）{4}^{x}}{4}$≥4^x，
即1-2a≥$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$在x≤2恒成立，
由y=$\frac{{4}^{x+1}-{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$=4-$\frac{1}{{2}^{x}}$-$\frac{1}{{4}^{x}}$=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}}$）²，x≤2，
由t=$\frac{1}{{2}^{x}}$（t≥$\frac{1}{4}$），可得y=$\frac{17}{4}$-（$\frac{1}{2}$+t）²递减，
即有t=$\frac{1}{4}$，即x=2时，取得最大值$\frac{59}{16}$，
即有1-2a≥$\frac{59}{16}$，解得a≤-$\frac{43}{32}$．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和参数分离，同时考查对数函数和指数函数的单调性的运用，考查二次函数的最值的求法，属于中档题．