Question

如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2

3

，M，N分别为AB，SB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小．

Answer 1

分析：（解法一）
（Ⅰ）由题意取AC的中点O，连接OS则SO⊥平面ABC，AC⊥SO；再由三垂线定理得AC⊥SB；
（Ⅱ）取OB的中点D，由SO⊥平面ABC和DN∥SO，得DN⊥平面ABC，作NE⊥CM交CM于E，
连接DE，再证DE⊥CM，则∠NED即为所求，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）由题意建立空间直角坐标系，求

AC

•

SB

=0得AC⊥SB；
（Ⅱ）因SO⊥平面ABC，则

SO

为平面ABC的法向量，求平面CMN的一个法向量

n

，再求两向量
夹角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OS，OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又∵平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．故SB在平面ABC内的射影为OB，
∴AC⊥SB．（6分）
（Ⅱ） 取OB的中点D，作NE⊥CM交CM于E，连接DE，ND．
在△SOB中，N，D分别为SB，OB的中点，
∴DN∥SO．
∵SO⊥平面ABC，
∴DN⊥平面ABC，∴DN⊥CM，∵NE⊥CM，∴CM⊥平面DNE
∴DE⊥CM．
故∠NED为二面角N-CM-B的平面角．（9分）
设OB与CM交于G，则G为△ABC的中心，
∴GD=

1

4

GB．
又∵DE⊥CM，BM⊥CM，

∴DE∥MB，∴DE=

1

4

MB=

1

2

．
在△SAC中可得SO=2

2

，在△SOB中，ND=

1

2

SO=

2

，
在Rt△NDE中，tanNED=

2

1 2

=2

2

．
∴∠NED=arctan2

2

．∴二面角N-CM-B的大小为arctan2

2

．（14分）
（解法二）：（Ⅰ）取AC的中点O，连接OS，OB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
A(2，0，0)，B(0，2

3

，0)，C(-2，0，0)，S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)．
∴

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，-2

2

)．
则

AC

•

SB

=0，
∴AC⊥SB．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)．
设

n

=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

CM •n=3x+ 3 y=0 MN •n=-x+ 2 z=0

取z=1，得x=

2

，y=-

6

，∴n=(

2

，-

6，

1)．
又

OS

=(0，0，2

2

)为平面ABC的法向量，
∴cos＜n•

OS

＞=

n• OS

|n|•| OS |

=

1

3

．
∴二面角N-CM-B的大小为arccos

1

3

．（14分）

点评：本题为一题多解的情况，一种是向量法，需要利用已有的垂直关系建立空间直角坐标系，向量的数量积来证垂直，求平面的法向量来求二面角的余弦值；另一种用垂直关系的定义和定理，三垂线定理来证明线线垂直、线面垂直，作出二面角O-AC-O₁的平面角．向量法要简单些．