Question

3．（1）已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，判断函数的奇偶性，并加以证明．
（2）是否存在a使f（x）=$\frac{a{3}^{x}-1+a}{{3}^{x}+1}$为R上的奇函数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定义域为R，并容易得出f（-x）=-f（x），从而得出f（x）为奇函数；
（2）f（x）为R上的奇函数时，一定有f（0）=0，这样即可求出a的值，从而判断出存在a使得f（x）为R上的奇函数．

解答 解：（1）f（x）的定义域为R，且$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}=\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=-\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-f（x）$；
∴f（x）为奇函数；
（2）f（x）为R上的奇函数；
∴$f（0）=\frac{a-1+a}{2}=0$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
即存在a=$\frac{1}{2}$使f（x）为R上的奇函数．

点评 考查奇函数的定义，根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的方法和过程，以及奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．