Question

15．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．
（1）求角A；
（2）若BC=2，△ABC的面积是$\sqrt{3}$，求AB．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求出A的值；  
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式，列出方程组即可求出AB的值．

解答 解：（1）由A+B+C=π，得sin（A+C）=sinB； 
所以2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
解得cosA=$\frac{1}{2}$，
又因为A∈（0，π），
所以$A=\frac{π}{3}$；  
（2）由余弦定理，得
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA=2²，①
因为△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•ACsin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
所以AB•AC=4，②
由①、②组成方程组，解得AB=BC=2．

点评 本题考查了三角形内角和定理与正弦、余弦定理、三角形面积公式的应用问题，是综合性题目．