Question

12．已知函数y=（x²+bx-4）log_ax（a＞0且a≠1）若对任意x＞0，恒有y≤0，则b^a的取值范围是（1，3）．

Answer 1

分析 分类讨论a的范围，把y≤0转化为$lo{g}_{a}x，{x}^{2}+bx-4$的符号的判断问题即可求解．

解答 解：设g（x）=x²+bx-4，
①若0＜a＜1，当0＜x＜1时，易知log_ax＞0，故问题可转化为g（x）≤0在（0，1）上恒成立，
则有g（0）≤0，g（1）=b-3≤0，解得：b≤3；
当x≥1时，log_ax≤0，此时不等式可转化为g（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（1）=b-3≥0，即b≥3，
∴b=3，
∵0＜a＜1，
∴1＜b^a＜3，
②若a＞1，
当0＜x＜1时，log_ax＜0，故g（x）≥0恒成立，
但g（0）=-4＜0，故不成立；
由此可知当a＞1时，不等式不可能恒成立．
综上可知b^a∈（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 本题考查了不等式恒成立问题以及分类讨论的思想方法．通过分类讨论把问题转化为二次不等式问题是解题关键．属于中档题．