Question

（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C的平面
角的正切值．
 

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)略   （Ⅲ）

(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
       ∴，∴；……1分
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得 …………………………2分
∵，∴……3分
∵平面ABC，∴PA⊥BC.  …………4分
(2) 如图所示取PC的中点G，…………………5分
连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，……………7分 
∴面ABG∥面DEF．           
即PC上的中点G为所求的点．                  …………… 9分
(3)由(2)知G这PC的中点，连结GE，∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则GH⊥AB，∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角．         …………… 11分
∵       又  
∴    又      …………… 13分
∴                         
∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为．         …………… 14分