Question

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

2

），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值．
（Ⅲ）请问是否存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S_△ABC=

3

4

；若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,椭圆的参数方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；
（II）设Q(

3

cos，sinα)，利用点到直线的距离公式可得点Q到直线l的距离d，再利用余弦函数的单调性即可得出；
（III）假设存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S△AOB=

3

4

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l：x-y+t=0．由曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数），化为

x2

3

+y2=1．联立方程得到△＞0及根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点O到直线m的距离，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（I）由P(4，

π

2

)可得xP=4cos

π

2

=0，y_P=4sin

π

2

=4．∴P（0，4）．
把P（0，4）代入直线l的方程：0-4+4=0，满足直线l的方程，因此点P在直线l上．
（II）设Q(

3

cos，sinα)，∴点Q到直线l的距离d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

|2cos(α+ π 6 )+4|

2

．
∵-1≤cos(α+

π

6

)≤1，∴2≤2cos(α+

π

6

)+4≤6．
∴

2

2

≤d≤

6

2

，即

2

≤d≤3

2

．
点Q到直线l的距离的最大值是3

2

，最小值是

2

．
（III）假设存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S△AOB=

3

4

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l：x-y+t=0．由曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数），化为

x2

3

+y2=1．
联立

x-y+t=0 x2+3y2=3

，化为4x²+6tx+3t²-3=0．
∵直线l与椭圆有两个交点，∴△=36t²-16（3t²-3）＞0，化为t²＜4（*）．
∴x1+x2=-

3t

2

，x1x2=

3t2-3

4

．
∴|AB|=

(1+1)[( 9t2 4 -4× 3t2-3 4 )]

=

12-3t2 2

，
原点O到直线l的距离d=

|t|

2

，
∴

1

2

|AB|d=

3

4

，
∴

1

2

12-3t2 2

×

|t|

2

=

3

4

，化为t⁴-4t²+3=0，解得t²=1或t²=3．满足（*）．
∴存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S△AOB=

3

4

，
直线l为x-y±1=0，或x-y±

3

=0．

点评：本题综合考查了极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、余弦函数的单调性、相互平行的直线的斜率之间的关系、椭圆的参数方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．