Question

5．已知等差数列{a_n}中a₃=7，其前n项和S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求p的值及a_n；
（Ⅱ）在等比数列{b_n}中，b₃=a₁，b₆=4a₁₀-3，若等比数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：数列{T_n+$\frac{1}{6}$}为等比数列．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：a₃=S₃-S₂=5p+2=7，可得p，求出公差，即可求出a_n；
（Ⅱ）确定数列{b_n}是以${b_1}=\frac{1}{3}$为首项，3为公比的等比数列，求出等比数列{a_n}的前n项和为T_n，即可证明结论．

解答 解：（I）由题意可得：a₃=S₃-S₂=5p+2=7，∴p=1，
∴a₁=S₁=3----------------------（3分）
∴2d=a₃-a₁=4，∴公差d=2----------------------（5分）
由此可得：a_n=2n+1----------------------（6分）
（Ⅱ）由题意可得：${b_3}={b_1}{q^2}={a_1}=3，{b_6}={b_1}{q^5}=4{a_{10}}-3=81$
联立方程组解得：q=3，${b_1}=\frac{1}{3}$--------------------（8分）
∴数列{b_n}是以${b_1}=\frac{1}{3}$为首项，3为公比的等比数列．
∴${T_n}=\frac{{\frac{1}{3}（1-{3^n}）}}{1-3}=\frac{1}{6}（{3^n}-1）$
∴${T_n}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}•{3^n}=\frac{1}{2}•{3^{n-1}}$------------------（10分）
又∵${T_1}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{{{T_n}+\frac{1}{6}}}{{{T_{n-1}}+\frac{1}{6}}}=3$，
∴$\left\{{{T_n}+\frac{1}{6}}\right\}$是以$\frac{1}{2}$为首项，3为公比的等比数列．----------------（12分）

点评 本题考查数列的通项，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．