Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）若F为线段AC的中点，求三棱锥A-C₁EF的体积；
（Ⅲ）试探究满足EF∥平面A₁ABB₁的点F的位置，并给出证明．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥AA₁．…（1分）
又∵BC⊥AC，AA₁，AC?面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，∴BC⊥面AA₁C₁C，…（3分）
又AC₁?面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：∵B₁C₁∥BC，由（Ⅰ）知BC⊥面AA₁C₁C，
∴C₁E⊥面AC₁F，…（6分）∴．…（8分）
（Ⅲ）解法一：当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁．…（9分）
理由如下：在平面A₁B₁C₁内过E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，连接AG．∵B₁E=3EC₁，∴，
又AF∥A₁C₁且，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，…（11分）
又EF?面A₁ABB₁，AG?面A₁ABB₁，
∴EF∥平面A₁ABB₁．…（12分）
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁．…（9分）
理由如下：在平面ABC内过E作EG∥BB₁交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB₁，EG?面A₁ABB₁，BB₁?面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁．
∵B₁E=3EC₁，∴BG=3GC，
∴FG∥AB，又AB?面A₁ABB₁，FG?面A₁ABB₁，∴FG∥平面A₁ABB₁．
又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁．…（11分）
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A₁ABB₁．…（12分）．
分析：（Ⅰ）由AA₁⊥面ABC，利用线面垂直的性质定理得到BC⊥AA₁，又BC⊥AC，AA₁，再根据线面垂直的判定定理得到BC⊥面AA₁C₁C，最后根据线面垂直的性质即可得出结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知可得C₁E⊥面AC₁F，将三棱锥A-C₁EF的体积转化为三棱锥E-C₁AF的体积进行求解即得；
（Ⅲ）解法一：当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁．理由如下：在平面A₁B₁C₁内过E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，连接AG，先证出EF∥AG，再利用线面平行的判定定理证得EF∥平面A₁ABB₁即可；
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A₁ABB₁，理由如下：在平面ABC内过E作EG∥BB₁交BC于G，连接FG．利用面面平行的判定定理得到平面EFG∥平面A₁ABB₁，再根据面面平行的性质即可得到EF∥平面A₁ABB₁．
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥的体积公式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化的思想．