【题目】设函数,.
(1)当(为自然对数的底数)时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论函数的零点的个数;
(3)若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(I) ;(II)见解析;(III)。
【解析】试题分析:(1)当时,,,由此利用导数性质能求出的极小值;(2)由,得,令,则,,由此利用导数性质能求出函数零点的个数;(3)当时,在上恒成立,由此能求出的取值范围.
试题解析:(1)当时,,所以, ,切点坐标为所以曲线在点处的切线方程为.
(2)因为函数令,得,设所以,当时,,此时在上为增函数;当时,,此时在上为减函数,所以当时,取极大值,
令,即,解得或,由函数的图像知:
当时,函数和函数无交点;
当时,函数和函数有且仅有一个交点;
当时,函数和函数有两个交点;
④当时,函数和函数有且仅有一个交点。
综上所述,当时,函数无零点;
当或时,函数有且仅有一个零点
当时,函数有两个零点
(3)对任意恒成立,等价于恒成立,设则在上单调递减,所以在上恒成立,所以在上恒成立,因为,所以,当且仅当时,,
所以实数的取值范围.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知A={x| <3x<9},B={x|log2x>0}.
(1)求A∩B和A∪B;
(2)定义A﹣B={x|x∈A且xB},求A﹣B和B﹣A.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一条宽为的两平行河岸有村庄和供电站,村庄与的直线距离都是, 与河岸垂直,垂足为现要修建电缆,从供电站向村庄供电.修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.
(1) 如图①,已知村庄与原来铺设有电缆,现先从处修建最短水下电缆到达对岸后后,再修建地下电缆接入原电缆供电,试求该方案总施工费用的最小值;
(2) 如图②,点在线段上,且铺设电缆的线路为.若,试用表示出总施工费用(万元)的解析式,并求的最小值.
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【题目】△ABC的三个内角A,B,C对应的边分别a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则角B等于( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
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