Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=2x³-9x²+12x，则不等式f（x）≥-f（-1）在R上的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：求导数，可判函数f（x）在（0，1）单调递增，（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，又可得-f（-1）=f（1）=5，f（2）=4＜f（1），令f（1）=f（x）可得x₁=1，x₂=5，由方程和不等式的关系可得答案．

解答： 解：∵当x＞0时，f（x）=2x³-9x²+12x，
∴f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
令f′（x）＜0可解得x∈（1，2），
故函数f（x）在（0，1）单调递增，
（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，
又-f（-1）=f（1）=5，f（2）=4＜f（1），
令f（1）=f（x）可得（x-1）²（x-5）=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∴不等式f（x）≥-f（-1）在R上的解集是（5，+∞）
故答案为：（5，+∞）

点评：本题考查函数的性质，涉及导数法判断函数的单调性，属基础题．