Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x+z，3），$\overrightarrow{b}$=（2，y-z），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．若x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≤2}\end{array}\right.$，则z的取值范围为（　　）

• A． [-6，4]
• B． [-4，6]
• C． [0，4]
• D． [0，6]

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，得到z=2x+3y，画出满足条件的平面区域，通过图象读出即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（x+z，3），$\overrightarrow{b}$=（2，y-z），
又∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴（x+z）×2+3×（y-z）=2x+3y-z=0，
即z=2x+3y，
画出满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+y≤2}\end{array}\right.$的平面区域，如图示：
，
由z=2x+3y得：y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$，
显然：直线过原点是z最小是0，直线过A（0，2）时，z最大是6，
故选：D．

点评 本题考查了向量垂直的性质，考查简单的线性规划问题，是一道基础题．