【题目】在含有个元素的集合
中,若这
个元素的一个排列(
,
,…,
)满足
,则称这个排列为集合
的一个错位排列(例如:对于集合
,排列
是
的一个错位排列;排列
不是
的一个错位排列).记集合
的所有错位排列的个数为
.
(1)直接写出,
,
,
的值;
(2)当时,试用
,
表示
,并说明理由;
(3)试用数学归纳法证明:为奇数.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
试题(1)根据定义列错位排列,根据错位排列的个数得,
,
,
的值;(2)根据定义理解
,
,
三者关系,需先确定两类,有两个数恰好错排与这两个数不错排,再降数处理,(3)先根据递推关系得对任意正奇数
,有
均为偶数,再利用
以及归纳假设得结论.
试题解析:(1),
,
,
,
(2),理由如下:
对的元素的一个错位排列(
,
,…,
),若
,分以下两类:
若,这种排列是
个元素的错位排列,共有
个;
若,这种错位排列就是将
,
,…,
,
,…,
排列到第
到第
个位置上,
不在第
个位置,其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于
个元素的错位排列,共有
个;
根据的不同的取值,由加法原理得到
;
(3)根据(2)的递推关系及(1)的结论,均为自然数;
当,且
为奇数时,
为偶数,从而
为偶数,
又也是偶数,
故对任意正奇数,有
均为偶数.
下面用数学归纳法证明(其中
)为奇数.当
时,
为奇数;
假设当时,结论成立,即
是奇数,则当
时,
,注意到
为偶数,又
是奇数,所以
为奇数,又
为奇数,所以
,即结论对
也成立;
根据前面所述,对任意,都有
为奇数.
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【题目】如图,四棱锥S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<
≦1). w.w.w..c.o.m
(Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C,求的值。
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【题目】已知圆:
关于直线
:
对称的圆为
.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线
与圆
交于
,
两点,
是坐标原点,是否存在这样的直线
,使得在平行四边形
(
和
为对角线)中
?若存在,求出所有满足条件的直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)求证:是
上的奇函数;
(2)求的值;
(3)求证:在
上单调递增,在
上单调递减;
(4)求在
上的最大值和最小值;
(5)直接写出一个正整数,满足
.
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【题目】已知椭圆的上顶点为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)斜率为的直线
与椭圆
交于
两个不同的点,当直线
的斜率之积是不为0的定值时,求此时
的面积的最大值.
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【题目】已知函数的周期为
,图象的一个对称中心为
,若先把函数
的图象向左平移
个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)设函数,试判断
在
内的零点个数.
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