Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的零点个数；

（Ⅲ）若函数在上是增函数，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析．（Ⅲ）见解析．

【解析】

（Ⅰ）由题意，求得，求得，得到切线的斜率，利用点斜式方程，即可得到切线的方程；

（Ⅱ）由，得到在上是增函数，进而得到，再根据零点的存在定理，即可求解.

（Ⅲ）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，设，利用导数得到函数的单调性与最值，即可求解.

解：（Ⅰ） 则：，又

所以，所求切线方程为，即．

（Ⅱ）因为，

所以在上是增函数，

则，

所以在上是增函数，

又，，

所以在上有唯一零点，且零点在上．

（Ⅲ）由题意，在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，；

当时，恒成立，

设

所以，

由（Ⅱ）可知，，使，

所以，当时，，当时

由此，在单调递减，在单调递增．

所以，

又因为，

所以

从而，

所以．

又因为，，

，

所以．

由于在上是增函数，

所以，

故．