【题目】已知函数f(x)=( + )x3(a>0,a≠1).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)求a的取值范围,使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立.
【答案】
(1)解:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∵f(﹣x)=( + )(﹣x)3=﹣( + )x3=( + )=f(x)
∴f(x)是偶函数
(2)解:∵函数f(x)在定义域上是偶函数,
∴函数y=f(2x)在定义域上也是偶函数,
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)+f(2x)>0可满足题意,
∵当x∈(0,+∞)时,x3>0,
∴只需 + + + >0,即 >0,
∵a2x+ax+1>0,
∴(ax)2﹣1>0,解得a>1,
∴当a>1时,f(x)+f(2x)>0在定义域上恒成立
【解析】(1)由可推知f(﹣x)=f(x),从而可判断函数f(x)的奇偶性;(2)利用(1)知f(x)为偶函数,可知当x∈(0,+∞)时,x3>0,从而可判知,要使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立,只需当a>1时即可.
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【题目】已知一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v(t)=t2﹣4t+3(m/s)运动,求:
(1)在t=4s时的位置;
(2)在t=4s的运动路程.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=3,点E,F分别在棱BB1 , CC1上,且C1F= C1C,BE=λBB1 , 0<λ<1.
(1)当λ= 时,求异面直线AE与A1F所成角的大小;
(2)当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为 时,求λ的值.
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【题目】如图,四边形中, , , , , 分别在上, ,现将四边形沿折起,使.
(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.
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【题目】下列四个结论: ①函数 的值域是(0,+∞);
②直线2x+ay﹣1=0与直线(a﹣1)x﹣ay﹣1=0平行,则a=﹣1;
③过点A(1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3;
④若圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则圆柱的侧面积等于球的表面积.
其中正确的结论序号为 .
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【题目】已知椭圆的离心率为,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线相切(为常数).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,若椭圆的左、右焦点分别为,过作直线与椭圆分别交于两点,求的取值范围.
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【题目】一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.﹣ 或﹣
B.﹣ 或﹣
C.﹣ 或﹣
D.﹣ 或﹣
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