Question

13．定义在（-1，1）上的奇函数f（x），当0≤x＜1时，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）．
（1）求当-1＜x＜0时，f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并应用函数f（x）的性质求满足f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，利用条件，可得当-1＜x＜0时，f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上单调递增，再求满足f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．

解答 解：（1）当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，
∵当0≤x＜1时，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）．
∴f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-1）．
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-1）．
（2）当0≤x＜1，a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，g（x）=a^x-1单调递增，∴当0≤x＜1时，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）单调递增．
同理0＜a＜1时，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）单调递增．
利用奇函数的对称性，可得f（x）在（-1，1）上单调递增．
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜f（m²-1），
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
∴1＜m＜$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．