Question

4．若f（x）=$\frac{2x+3}{x+a}$在（-1，+∞）上满足对任意x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），则a的取值范围为（$\frac{3}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的单调性，利用分式函数的单调性，利用分子常数化，建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：∵在（-1，+∞）上满足对任意x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），
∴在（-1，+∞）上函数为增函数，
由f（x）=$\frac{2x+3}{x+a}$=$\frac{2（x+a）+3-2a}{x+a}$=2+$\frac{3-2a}{x+a}$，
则函数的定义域为（-∞，-a）∪（-a，+∞），
若在（-1，+∞）上函数单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{3-2a＜0}\\{-a≤-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{3}{2}}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{3}{2}$，
故答案为：（$\frac{3}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分式函数的性质利用分子常数化是解决本题的关键．